hÖ thèng kiÕn thøc cÇn ghi nhí m«n To¸n  

 Sè tù nhiªn

1.  §Ó viÕt c¸c sè tù nhiªn, ng­êi ta dïng m­êi kÝ hiÖu ( ch÷ sè) lµ : 0, 1, 2, 3, 4, 5,  6, 7, 8, 9.

2. C¸c ch÷ sè ®Òu nhá h¬n 10.

3. Sè 0 lµ sè tù nhiªn nhá nhÊt (n»m ë gèc tia sè).

4. Kh«ng cã sè tù nhiªn lín nhÊt.

5. C¸c sè lÎ cã ch÷ sè hµng ®¬n vÞ lµ : 1, 3, 5, 7, 9.

4. C¸c sè ch½n cã ch÷ sè hµng ®¬n vÞ lµ : 0, 2, 4, 6 , 8.

7. Hai sè tù nhiªn liªn tiÕp (liÒn nhau) h¬n (hoÆc kÐm) nhau 1 ®¬n vÞ.

8. Hai sè lÎ liªn tiÕp h¬n (hoÆc kÐm) 2 ®¬n vÞ.

9. Hai sè ch½n liªn tiÕp h¬n (hoÆc kÐm) 2 ®¬n vÞ.

10. Cã m­êi sè cã mét ch÷ sè lµ : 0, 1, 2, 3, 4, 5,  6, 7, 8, 9.

11. Cã 90 sè cã hai ch÷ sè lµ c¸c sè tõ 10 ®Õn 99.

12. Cã 900 sè cã ba ch÷ sè lµ c¸c sè tõ 100 ®Õn 999.

13. Cã 9000 sè cã bèn ch÷  sè lµ c¸c sè tõ 1000 ®Õn 9999.

…………………………………………………………………………………………………

14. Cã 900 000 000 cã chÝn ch÷ sè lµ c¸c sè tõ 100 000 000 ®Õn 999 999 999.

15. C¸c sè nhá nhÊt cã : hai, ba, bèn, … chÝn ch÷ sè lµ 10, 100, 1000, …. 100 000 000.

16. C¸c sè lín nhÊt cã : hai, ba, bèn, … chÝn ch÷ sè lµ : 99, 999,  9 999, …..  999 999 999.

17. Trong d·y sè tù nhiªn liªn tiÕp, cø mét sè ch½n l¹i ®Õn mét sè lÎ råi l¹i ®Õn mét sè ch½n… V× vËy, nÕu :

  a. D·y sè b¾t ®Çu tõ sè lÎ vµ kÕt thóc lµ sè ch½n th× sè l­îng c¸c sè lÎ b»ng sè l­îng c¸c sè ch½n.

    - D·y sè b¾t ®Çu tõ sè ch½n vµ kÕt thóc lµ sè lÎ th× sè l­îng c¸c sè ch½n b»ng sè l­îng c¸c sè lÎ.

  b.  NÕu d·y sè b¾t ®Çu tõ sè lÎ vµ kÕt thóc lµ sè lÎ th× sè l­îng c¸c sè lÎ nhiÒu h¬n sè l­îng c¸c sè ch½n 1 sè.

    - NÕu d·y sè b¾t ®Çu tõ sè ch½n vµ kÕt thóc lµ sè ch½n th× sè l­îng c¸c sè ch½n nhiÒu h¬n sè l­îng c¸c sè lÎ 1 sè.

18. a) Trong mét d·y sè tù nhiªn liªn tiÕp b¾t ®Çu tõ sè 1 th× sè l­îng c¸c sè trong d·y sè chÝnh b»ng gi¸ trÞ sè  cuèi cïng cña d·y sè Êy.

  Ch¼ng h¹n d·y sè : 1, 2, 3, 4, … 7 892 653 cã 7 892 653 sè tù nhiªn.

b) Trong d·y sè tù nhiªn liªn tiÕp b¾t ®Çu tõ sè lín h¬n 1 th× sè l­îng c¸c sè trong d·y sè b»ng hiÖu gi÷a sè cuèi cïng víi sè ®Çu tiªn cña d·y sè céng víi 1 ( hoÆc b»ng hiÖu gi÷a sè cuèi cïng víi sè liÒn tr­íc sè ®Çu tiªn).

 VD : D·y sè tù nhiªn liªn tiÕp tõ 15 ®Õn 75 cã sè l­îng sè tù nhiªn lµ :

                          75 – 15 + 1 = 61 sè ( hoÆc 75 – 14 = 61 sè)

 Chó ý : Côm tõ : “Sè l­îng c¸c sè” ®«i khi ng­êi ta nãi  ng¾n gän lµ : “Sè c¸c sè”.

19. Cã thÓ dïng c¸c ch÷  c¸i ®Ó viÕt c¸c sè tù nhiªn.

  VD : §Ó biÓu thÞ cho mét sè cã ba ch÷  sè nµo ®ã ng­êi ta viÕt sè ®ã lµ abc vµ ®äc lµ a tr¨m, b chôc, c®¬n vÞ, trong ®ã b, c thay cho c¸c ch÷ sè tõ 0 ®Õn 9, riªng a tõ 1 ®Õn 9. Sè nµy ph©n tÝch nh­ sau :

   abc = a x 100 + b x 10 + c hoÆc abc = a00 + b0 + c

                                C¸c phÐp tÝnh víi sè tù nhiªn

PhÐp céng :

1. NÕu ta thªm hay bít bao nhiªu ®¬n vÞ ë mét sè h¹ng th× tæng còng t¨ng thªm hay bít

®i bÊy nhiªu ®¬n vÞ.

                  (a - n) + (b - n) = a + b - n x 2

                  (a + n) + (b + n) = (a + b) + n x 2

1.  Trong mét tæng gåm hai sè h¹ng, nÕu ta thªm vµo sè h¹ng nµy bao nhiªu ®¬n vÞ vµ bít ë sè h¹ng kia bÊy nhiªu ®¬n vÞ th× tæng kh«ng thay ®æi.

             (a +n) + (b - n) = a + b

1. Tæng kh«ng ®æi nÕu ta ®æi chç c¸c sè h¹ng. (a + b = b + a)
2. Khi céng mét tæng hai  sè víi sè thø ba ta cã thÓ lÊy sè thø nhÊt céng víi tæng cña sè thø hai vµ sè thø ba. (a+b) + c = a + (b + c)
3. Muèn céng mét sè víi mét hiÖu, ta céng sè ®ã víi sè bÞ trõ råi trõ ®i sè trõ.

  VËn dông ®Ó tÝnh nhÈm :

   127 + 68 = 127 + (70 - 2) = 127 + 70 – 2  = 197 – 2 = 195

1. Tæng cña hai sè cã mét ch÷ sè nÕu b»ng mét sè cã hai ch÷ sè th× ch÷ sè hµng chôc cña tæng lµ 1.VD : a + b = cd th× c =1    V× a < 10, b < 10 nªn a + b < 10 + 10  -> a = b < 20
2. Tæng cña hai sè cã hai ch÷ sè mµ lµ sè cã 3 ch÷ sè th× ch÷ sè hµng tr¨m cña tæng lµ 1.

• * + * * = abc th× a = 1

1. Tæng cña hai sè ch½n lµ sè ch½n         VD : 4 + 6 = 10         12 + 16 = 28
2. Tæng c¸c sè ch½n lµ sè ch½n.      VD : 4 + 6 + 8  = 18
3. Tæng cña hai sè lÎ lµ sè ch½n . VD : 7 + 5  = 12
4. Tæng cña mét sè ch½n c¸c sè lÎ lµ sè ch½n

VD : 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36. Trong ®ã :    - C¸c sè h¹ng ®Òu lµ sè lÎ;

                                                                           - Sè l­îng sè h¹ng lµ sè ch½n (6 sè);

                                                                           - Tæng sè lµ sè ch½n (36)

10. Tæng cña mét sè lÎ víi mét sè ch½n lµ sè lÎ. VD : 6 + 9  = 15

11. Tæng cña mét sè lÎ c¸c sè lÎ lµ sè lÎ.

VD : 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49. Trong ®ã :   - C¸c sè h¹ng ®Òu lµ sè lÎ;

                                                                                  -  Sè l­îng sè h¹ng lµ sè lÎ (7 sè);

                                                                                   - Tæng sè lµ sè lÎ (49)

      12. NÕu mét sè h¹ng ®­îc gÊp lªn n lÇn, ®ång thêi c¸c sè h¹ng cßn l¹i ®­îc gi÷ nguyªn th× tæng ®ã ®­îc t¨ng lªn mét sè ®óng b»ng (n - 1) lÇn sè h¹ng ®­îc gÊp lªn ®ã.

      13. NÕu mét sè h¹ng bÞ gi¶m ®i n lÇn, ®ång thêi c¸c sè h¹ng cßn l¹i ®­îc gi÷ nguyªn th× tæng ®ã bÞ gi¶m ®i mét sè ®óng b»ng (1 - ) sè h¹ng bÞ gi¶m ®i ®ã.

PhÐp trõ

1. a - (b + c) = (a - c) - b = (a - c) - b
2. Khi cïng thªm (hoÆc cïng bít) ë c¶ sè bÞ trõ vµ sè trõ mét sè ®¬n vÞ nh­ nhau th× hiÖu kh«ng thay ®æi.     (a + n) - (b + n) = a - b                .     (a -  n) - (b - n) = a - b
3. HiÖu cña mét sè cã hai ch÷ sè víi sè cã mét ch÷ sè mµ lµ sè cã mét ch÷ sè th× hµng chôc cña sè bÞ trõ ph¶i b»ng 1.

 ab – c = d th× a = 1

HiÖu cña mét sè cã 3 ch÷ sè víi sè cã 2 ch÷ sè mµ lµ sè cã mét ch÷ sè th× hµng tr¨m cña sè bÞ trõ ph¶i lµ , ch÷ sè hµng chôc cña sè trõ ph¶i lµ 9.

abc – de = g th× a = 1; d = 9.

1. Muèn trõ mét sè víi mét hiÖu, ta céng sè ®ã víi sè trõ råi trõ ®i sè bÞ trõ.

 VD : 65 – (93 – 45) = 65 + 45 – 93

VËn dông ®Ó tÝnh nhÈm :

            72 – 47 = 72 – (50 - 3) = 72 + 3 – 50 = 75 – 50 = 25

1. HiÖu cña hai sè ch½n lµ sè ch½n.          ch½n - ch½n = ch½n
2. HiÖu cña hai sè lÎ lµ sè ch½n.               lÎ - lÎ = ch½n
3. HiÖu cña mét sè lÎ vµ sè ch½n lµ sè lÎ.   lÎ - ch½n = lΠ      ch½n - lÎ = lΠ     
4.  NÕu sè bÞ trõ gi÷ nguyªn, sè trõ ®­îc gÊp lªn n lÇn th× hiÖu bÞ gi¶m ®i (n - 1) lÇn sè trõ. (n > 1).
5.  NÕu sè bÞ trõ ®­îc t¨ng thªm n ®¬n vÞ, sè trõ gi÷ nguyªn th× hiÖu t¨ng lªn n ®¬n vÞ.
6.   NÕu sè bÞ trõ t¨ng lªn n ®¬n vÞ, sè bÞ trõ gi÷ nguyªn th× hiÖu gi¶m ®i n ®¬n vÞ.

PhÐp nh©n

1. Khi ®æi chç c¸c thõa sè trong mét tÝch th× tÝch kh«ng thay ®æi.       a x b = bx a
2. Khi nh©n mét sè víi tÝch cña sè thø hai vµ sè thø ba ta cã thÓ lÊy tÝch cña sè thø nhÊt vµ sè hai nh©n víi sè thø ba.   a x (b xc) = (a x b) x c
3. Khi nh©n mét sè víi mét tæng, ta cã thÓ nh©n sè ®ã víi tõng sè h¹ng cña tæng, råi céng kÕt qu¶ víi nhau.                 a x (b +c) = a x b + a xc
4. Khi nh©n mét  sè víi mét hiÖu, ta cã thÓ lÇn l­ît nh©n sè víi sè bÞ trõ vµ sè trõ, råi trõ hai kÕt qu¶ cho nhau.                a x (b - c) = a x b - a xc 
5. TÝch sè gÊp thõa sè thø nhÊt mét sè lÇn b»ng thõa sè thø hai.
6. TÝch sè gÊp thõa sè thø hai mét sè lÇn b»ng thõa sè thø nhÊt.   

      VD : 2 x 3 = 6 ( 6 gÊp 2 ba lÇn, 6 gÊp 3 hai lÇn).

1. LÊy tÝch sè chia cho thõa sè thø nhÊt th× kÕt qu¶ bµng thõa sè thø hai. LÊy tÝch sè chia cho thõa sè thø hai th× kÕt qu¶ b»ng thõa sè thø nhÊt.
2. TÝch c¸c sè lÎ lµ sè lÎ .
3. TÝch mét sè lÎ víi sè ch·n lµ sè ch·n.
4. Trong mét tÝch, nÕu cã Ýt nhÊt mét thõa sè ch½n th× tÝch ®ã ch½n.
5. TÝch mét sè cã hµng ®¬n vÞ lµ 5 víi sè ch½n th× cã hµng ®¬n vÞ lµ 0.
6. TÝch mét sè cã hµng ®¬n vÞ lµ 5 víi sè lÎ th× cã hµng ®¬n vÞ lµ 5.
7. Trong mét tÝch, nÕu cã Ýt nhÊt mét thõa sè trßn chôc hoÆc Ýt nhÊt mét thõa sè cã tËn cïng lµ 5 vµ cã Ýt nhÊt mét thõa sè ch½n th× tÝch cã tËn cïng lµ 0.
8.  Trong mét tÝch c¸c thõa sè ®Òu lÎ vµ cã Ýt nhÊt mét thõa sè cã tËn cïng lµ 5 th× tÝch cã tËn cïng lµ 5.
9.  Trong mét tÝch nÕu mét thõa sè ®­îc gÊp lªn n lÇn ®ång thêi cã mét thõa sè kh¸c bÞ gi¶m ®i n lÇn th× tÝch kh«ng thay ®æi.
10.  Trong mét tÝch cã mét thõa sè ®­îc gÊp lªn n lÇn, c¸c thõa sè cßn l¹i gi÷ nguyªn th× tÝch ®­îc gÊp lªn n lÇn vµ ng­îc l¹i nÕu trong mét tÝch cã mét thõa sè bÞ gi¶m ®i n lÇn, c¸c thõa sè cßn l¹i gi÷ nguyªn th× tÝch còng bÞ gi¶m ®i n lÇn. (n > 0)
11.  Trong mét tÝch, nÕu mét thõa sè ®­îc gÊp lªn n lÇn, ®ång thêi mét thõa sè ®­îc gÊp lªn m lÇn th× tÝch ®­îc gÊp lªn (m x n) lÇn. Ng­îc l¹i nÕu trong mét tÝch mét thõa sè bÞ gi¶m ®i m lÇn, mét thõa sè bÞ gi¶m ®i n lÇn th× tÝch bÞ gi¶m ®i (m x n) lÇn. (m vµ n kh¸c 0)
12.  Trong mét tÝch, nÕu mét thõa sè ®­îc t¨ng thªm n ®¬n vÞ,  thõa sè cßn l¹i gi÷ nguyªn th× tÝch ®­îc t¨ng thªm n lÇn  thõa sè cßn l¹i. Ng­îc l¹i nÕu mét thõa sè ®­îc gi¶m ®i n ®¬n vÞ,  thõa sè cßn l¹i gi÷ nguyªn th× tÝch ®­îc gi¶m ®i n lÇn  thõa sè cßn l¹i

         a x b = c

         (a +n) x b = c + n x b

         (a - n) x b = c - n x b

PhÐp chia

1.Th­¬ng cña hai sè lÎ lµ sè lÎ.

2.  Th­¬ng cña mét sè ch½n víi mét sè lÎ lµ sè ch½n.

1. Sè lÎ kh«ng chia hÕt cho sè ch½n.
2. Khi chia mét sè cho mét tÝch hai thõa sèo, ta cã thÓ chia sè ®ã cho mét thõa sè, råi lÊy kÕt qu¶ t×m ®­îc chia tiÕp cho thõa sè kia.    

     VD : 24 : (3 x 2) = 24 : 3 : 2 = 24 : 2 : 3

1. Khi chia mét tÝch hai thõa sè cho mét sè, ta cã thÓ lÊy mét thõa sè chia cho  sè ®ã (nÕu chia hÕt), råi nh©n kÕt qu¶ víi thõa sè kia.

      VD : (9 x 15) : 3 = 9 x (15 : 3) = (9 : 3) x 15

1. Mét tæng chia hÕt cho mét sè khi mäi sè h¹ng cña tæng ®Òu chia hÕt cho sè ®ã.
2. Mét hiÖu chia hÕt cho mét sè nÕu sè bÞ trõ vµ sè trõ ®Òu chia hÕt cho sè ®ã.
3. Mét tÝch chia hÕt cho mét sè nÕu trong tÝch ®ã cã Ýt nhÊt mét thõa sè chia hÕt cho sè ®ã.
4. Sè d­ bao giê còng nhá h¬n sè chia.
5. Sè d­ lín nhÊt kÐm sè chia 1 ®¬n vÞ .
6. Sè bÞ chia b»ng th­¬ng nh©n víi sè chia råi c«ng víi d­. Nãi c¸ch kh¸c sè bÞ chia trõ ®i sè d­ th× chia hÕt cho sè chia vµ còng chia hÕt cho th­¬ng.

       Suy ra :

      - Trong mét phÐp chia cã sè d­ lµ sè d­ lín nhÊt th×  nÕu thªm mét ®¬n vÞ vµo th× sè d­ sÏ b»ng sè chia nªn chia cho sè chia ®­îc thªm mét lÇn n÷a. Khi ®ã phÐp chia lµ phÐp chia kh«ng d­, sè thu¬ng t¨ng thªm 1 ®¬n vÞ n÷a vµ sè bÞ chia còng t¨ng thªm 1 ®¬n vÞ .

      - Trong phÐp chia, nÕu ta cïng t¨ng (hoÆc cïng gi¶m) sè bÞ chia vµ sè chia lªn cïng mét sè lÇn th× th­¬ng sè kh«ng thay ®æi.

      VD : 36 : 4 = 9          ( 36 : 2) : ( 4 : 2 ) = 9

                                        ( 36 x 2) : ( 4 x2) = 9

       - Trong phÐp chia, nÕu ta cïng t¨ng ( hoÆc cïng gi¶m ) sè bÞ chia vµ sè chia cïng mét sè lÇn th× th­¬ng sè kh«ng thay ®æi cßn sè d­ còng t¨ng lªn ( hoÆc gi¶m ) bÊy nhiªu lÇn.

       VD :             38  :  5  = 7 d­ 3

                       ( 38 x 2 ) : ( 5 x 2 ) = 7 d­ 6  mµ 6 = 3 x 2

       - Trong phÐp chia kh«ng d­, nÕu ta gÊp (hoÆc gi¶m ) sè bÞ chia bao nhiªu lÇn vµ gi÷ nguyªn sè chia th× sè th­¬ng còng gÊp lªn (hoÆc gi¶m) ®i bÊy nhiªu lÇn.

 VD :            18 : 6 = 3

                  (18 x 3) : 6 = 9 mµ 9 : 3  = 3

     - Trong phÐp chia kh«ng d­, nÕu ta gi÷ nguyªn sè bÞ chia vµ gÊp (hoÆc gi¶m ) sè chia bao nhiªu lÇn mµ sè bÞ chia vÉn chia hÕt cho sè chia míi th× th­¬ng sÏ gi¶m ®i ( hoÆc t¨ng lªn) bÊy nhiªu lÇn.

   VD : 24 : 4 = 6         24 : (6 x 3) = 2 mµ 4 : 2 = 2

                                     24 : ( 6 : 3 ) = 12 mµ 12 : 4 = 3                   

                                                            D·y sè

 1.  Mét sè quy luËt cña d·y sè th­êng gÆp:

a) Mçi sè h¹ng (kÓ tõ sè h¹ng thø 2) b»ng sè h¹ng ®øng liÒn tr­íc nã céng hoÆc trõ mét sè tù nhiªn d.

b) Mçi sè h¹ng (kÓ tõ sè h¹ng thø 2) b»ng sè h¹ng ®øng liÒn tr­íc nã nh©n hoÆc chia mét sè tù nhiªn q (q > 1).

c) Mçi sè h¹ng (kÓ tõ sè h¹ng thø 3) b»ng tæng hai sè h¹ng ®øng liÒn tr­íc nã.

d) Mçi sè h¹ng (kÓ tõ sè h¹ng thø 4) b»ng tæng c¸c sè h¹ng ®øng liÒn tr­íc nã céng víi sè tù nhiªn d råi céng víi sè thø tù cña sè h¹ng Êy.

e) Mçi sè h¹ng ®øng sau b»ng sè h¹ng ®øng liÒn tr­íc nã nh©n víi sè thø tù cña sè h¹ng Êy.

f) Mçi sè h¹ng b»ng sè thø tù cña nã nh©n víi sè thø tù cña sè h¹ng ®øng liÒn sau nã.

........

2. D·y sè c¸ch ®Òu:

a) TÝnh sè l­îng sè h¹ng cña d·y sè c¸ch ®Òu:

Sè sè h¹ng = (Sè h¹ng cuèi - Sè h¹ng ®Çu) : d + 1

(d lµ kho¶ng c¸ch gi÷a 2 sè h¹ng liªn tiÕp)

VÝ dô: TÝnh sè l­îng sè h¹ng cña d·y sè sau:

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, …, 94, 97, 100.

Ta thÊy:

VËy d·y sè ®· cho lµ d·y sè c¸ch ®Òu, cã kho¶ng c¸ch gi÷a 2 sè h¹ng liªn tiÕp lµ 3 ®¬n vÞ. Nªn sè l­îng sè h¹ng cña d·y sè ®· cho lµ:

(100 - 1) : 3 + 1 = 34  (sè h¹ng)

b) TÝnh tæng cña d·y sè c¸ch ®Òu:

VÝ dô : Tæng cña d·y sè 1, 4, 7, 10, 13, …, 94, 97, 100 lµ:    = 1717  

                                              DÊu hiÖu chia hÕt

1. DÊu hiÖu chia hÕt cho 2:

C¸c sè cã tËn cïng lµ 0, 2, 4, 6, 8 th× chia hÕt cho 2.

HoÆc : C¸c sè ch½n chi hÕt cho 2.

2. DÊu hiÖu chia hÕt cho 5:

  C¸c sè cã tËn cïng lµ 0 hoÆc 5 th× chia hÕt cho 5

- C¸c sè cã tËn cïng lµ 0 võa chi hÕt cho 2 võa chia hÕt cho 5 ®ång thêi chia hÕt cho 10.

3. DÊu hiÖu chia hÕt cho 9 :

- C¸c sè cã tæng c¸c ch÷ sè chia hÕt cho 9 th× chia hÕt cho 9.

- C¸c sè cã tæng c¸c ch÷ sè kh«ng chia hÕt cho 9 th× kh«ng chia hÕt cho 9, ®ång thêi tæng nµy chia cho 9 d­ bao nhiªu th× sè ®ã chia cho 9 còng d­ bÊy nhiªu.

 VD : Sè 54 643 cã tæng c¸c ch÷ sè b»ng 22 mµ 22 : 9 = 2 d­ 4 nªn sè 54643 : 9 = 6071 d­ 4

4. DÊu hiÖu chia hÕt cho 3 :

- C¸c sè cã tæng c¸c ch÷ sè chia hÕt cho 3 th× chia hÕt cho 3.

- C¸c sè cã tæng c¸c ch÷ sè kh«ng chia hÕt cho 3 th× kh«ng chia hÕt cho 3, ®ång thêi tæng nµy chia cho 3 d­ bao nhiªu th× sè ®ã chia cho 3 còng d­ bÊy nhiªu.

- Mét sè chia hÕt cho 9 th× chia hÕt cho 3.

5. DÊu hiÖu chia hÕt cho 4 :

Nh÷ng sè cã hai ch÷ sè cuèi t¹o thµnh mét sè chia hÕt cho 4 th× chia hÕt cho 4.

  VD : C¸c sè 2928 vµ 5784 cã hai ch÷ sè cuèi lµ 28 vµ 84 chia hÕt cho 4 nªn chia hÕt cho 4.

6. DÊu hiÖu chia hÕt cho 6.

Nh÷ng sè ch½n chia hÕt cho 3 th× chia hÕt cho 6 vµ chØ cã nh÷ng sè ®ã míi chia hÕt cho 6.

  VD : C¸c sè 3456 vµ 8250 lµ sè ch½n chia hÕt cho 3 nªn chia hÕt cho 6.

7. DÊu hiÖu chia hÕt cho 8 :

Nh÷ng sè cã ba ch÷ s« cuèi t¹o thµnh mét sè chia hÕt cho 8 th× chia hÕt cho 8 .

  VD : Sè 999336 cã ba ch÷ sè cuèi 336 chia hÕt cho 8 nªn nã chia hÕt cho 8.

8. - Mét sè võa chia hÕt cho 2 võa chia hÕt cho 3 th× chia hÕt cho 6.

   - Mét sè võa chia hÕt cho 3 võa chia hÕt cho 5 th× chia hÕt cho 15.

   - Mét sè võa chia hÕt cho 2 võa chia hÕt cho 9 th× chia hÕt cho 18.

9. a chia hÕt cho m, b còng chia hÕt cho m (m > 0) th× tæng a + b vµ hiÖu a- b (a > b) còng chia hÕt cho m.

10. Cho mét tæng cã mét sè h¹ng chia cho m d­ r (m > 0), c¸c sè h¹ng cßn l¹i chia hÕt cho m th× tæng chia cho m còng d­ r.

11. a chia cho m d­ r, b chia cho m d­ r th× (a - b) chia hÕt cho m ( m > 0).

12. Trong mét tÝch cã mét thõa sè chia hÕt cho m th× tÝch ®ã chia hÕt cho m (m >0).

13. NÕu a chia hÕt cho m ®ång thêi a còng chia hÕt cho n (m, n > 0). §ång thêi m vµ n chØ

cïng chia hÕt cho 1 th× a chia hÕt cho tÝch m x n.

VÝ dô: 18 chia hÕt cho 2 vµ 18 chia hÕt cho 9 (2 vµ 9 chØ cïng chia hÕt cho 1) nªn 18 chia hÕt cho tÝch 2 x 9.

14. NÕu a chia cho m d­ m - 1 (m > 1) th× a + 1 chia hÕt cho m.

15. NÕu a chia cho m d­ 1 th× a - 1 chia hÕt cho m (m > 1).

                                                     Ph©n sè  

I. TÝnh c¬ b¶n cña ph©n sè

1. Khi ta cïng nh©n hoÆc cïng chia c¶ tö vµ mÉu sè cña mét ph©n sè víi cïng mét sè tù nhiªn lín h¬n 1, ta ®­¬c mét ph©n sè míi b»ng ph©n sè ban ®Çu.

2. VËn dông tÝnh chÊt c¬ b¶n cña ph©n sè:

a. Rót gän ph©n sè

 =  (m > 1; a vµ b ph¶i cïng chia hÕt cho m).

 ®­îc gäi lµ ph©n sè tèi gi¶n khi c vµ d chØ cïng chia hÕt cho 1 (hay c vµ d kh«ng cïng chia hÕt cho mét sè tù nhiªn nµo kh¸c 1)

- Khi rót gän ph©n sè cÇn rót gän ®Õn ph©n sè tèi gi¶n.

VÝ dô: Rót gän ph©n sè .

C¸ch lµm: .

- Rót gän 1 ph©n sè cã thÓ ®­îc mét ph©n sè hay mét sè tù nhiªn:

VÝ dô: Rót gän ph©n sè

C¸ch lµm: .

- §èi víi ph©n sè lín h¬n 1 cã thÓ viÕt d­íi d¹ng hçn sè             VÝ dô: .

b. Quy ®ång mÉu sè - Quy ®ång tö sè:

* Quy ®ång mÉu sè 2 ph©n sè:  vµ (b, d )

Ta cã:               

VÝ dô: Quy ®ång mÉu sè 2 ph©n sè  vµ.

Ta cã:

Tr­êng hîp mÉu sè lín h¬n chia hÕt cho mÉu sè bÐ h¬n th× mÉu sè chung chÝnh lµ mÉu sè lín h¬n.

VÝ dô: Quy ®ång mÉu sè 2 ph©n sè  vµ

C¸ch lµm: V× 6 : 3 = 2 nªn .

Chó ý: Tr­íc khi quy ®ång mÉu sè cÇn rót gän c¸c ph©n sè thµnh ph©n sè tèi gi¶n (nÕu cã thÓ)

* Quy ®ång tö sè 2 ph©n sè:  vµ  (a, b, c, d )

Ta cã:

VÝ dô: Quy ®ång tö sè 2 ph©n sè vµ .

          .

II. Bèn phÐp tÝnh víi ph©n sè

1. PhÐp céng ph©n sè

a. C¸ch céng

* Hai ph©n sè cïng mÉu:   

* Hai ph©n sè kh¸c mÉu sè:

- Quy ®ång mÉu sè 2 ph©n sè råi ®­a vÒ tr­êng hîp céng 2 ph©n sè cã cïng mÉu sè.

* Céng mét sè tù nhiªn víi mét ph©n sè.

- ViÕt sè tù nhiªn thµnh ph©n sè cã mÉu sè b»ng mÉu sè cña ph©n sè ®· cho.

- Céng hai tö sè vµ gi÷ nguyªn mÉu sè.

VÝ dô:       2 +

b. TÝnh chÊt c¬ b¶n cña phÐp céng

- TÝnh chÊt giao ho¸n:

.

- TÝnh chÊt kÕt hîp:

- Tæng cña mét ph©n sè vµ sè 0:   

2. PhÐp trõ ph©n sè

a. C¸ch trõ

* Hai ph©n sè cïng mÉu:        

* Hai ph©n sè kh¸c mÉu sè:

- Quy ®ång mÉu sè 2 ph©n sè råi ®­a vÒ tr­êng hîp trõ 2 ph©n sè cïng mÉu sè

b. Quy t¾c c¬ b¶n:

- Mét tæng 2 ph©n sè trõ ®i mét ph©n sè:

  (Víi )

                  =  (Víi )

- Mét ph©n sè trõ ®i mét tæng 2 ph©n sè:

                  =

- Mét ph©n sè trõ ®i sè 0:          

3. PhÐp nh©n ph©n sè

a. C¸ch nh©n:

b. TÝnh chÊt c¬ b¹n cña phÐp nh©n:

- TÝnh chÊt giao ho¸n:           

- TÝnh chÊt kÕt hîp:            =

- Mét tæng 2 ph©n sè nh©n víi mét ph©n sè:     

- Mét hiÖu 2 ph©n sè nh©n víi mét ph©n sè:      

- Mét ph©n sè nh©n víi sè 0:         

c. Chó ý:

- Thùc hiÖn phÐp trõ 2 ph©n sè:

                     Do ®ã:

                     Do ®ã:

                Do ®ã:

     Do ®ã:

- Muèn t×m gi¸ trÞ ph©n sè cña mét sè ta lÊy ph©n sè nh©n víi sè ®ã.

VÝ dô: T×m  cña 6 ta lÊy:

T×m cña  ta lÊy:

4. PhÐp chia ph©n sè

a. C¸ch lµm:

b. Quy t¾c c¬ b¶n:

- TÝch cña 2 ph©n sè chia cho mét ph©n sè.        

- Mét ph©n sè chia cho mét tÝch 2 ph©n sè:         

- Tæng 2 ph©n sè chia cho mét ph©n sè:        

- HiÖu 2 ph©n sè chia cho mét ph©n sè:         

- Sè 0 chia cho mét ph©n sè:     

- Muèn t×m 1 sè khi biÕt gi¸ trÞ 1 ph©n sè cña nã ta lÊy gi¸ trÞ ®ã chia cho ph©n sè t­¬ng øng.

VÝ dô: T×m sè häc sinh líp 5A biÕt sè häc sinh cña líp 5A lµ 10 em.

Bµi gi¶i

Sè häc sinh cña líp 5A lµ:

10 :  (em)

* Khi biÕt ph©n sè cña x b»ng cña y (a, b, c, d

- Muèn t×m tØ sè gi÷a x vµ y ta lÊy

- Muèn t×m tØ sè gi÷a y vµ x ta lÊy

VÝ dô: BiÕt sè nam b»ng sè n÷. T×m tØ sè gi÷a nam vµ n÷.

Bµi gi¶i

TØ sè gi÷a nam vµ n÷ lµ :   = .

III. So s¸nh ph©n sè

1. So s¸nh ph©n sè b»ng c¸ch quy ®ång mÉu sè, quy ®ång tö sè

a) Quy ®ång mÉu sè

B­íc 1: Quy®ång mÉu sè

B­íc 2: So s¸nh ph©n sè võa quy ®ång

VÝ dô: So s¸nh  vµ

+) Ta cã:                        

+) V×  nªn

b) Quy ®ång tö sè

B­íc 1: Quy ®ång tö sè

B­íc 2: So s¸nh ph©n sè ®· quy ®ång tö sè

VÝ dô: So s¸nh hai ph©n sè  vµ  b»ng c¸ch quy ®ång tö sè

+) Ta cã :      

+) V×  nªn

2. So s¸nh ph©n sè víi ph©n sè trung gian:

NÕu hai ph©n sè  vµ  cã a > c vµ b < d hoÆc a <c vµ b > d ( tö sè cña ph©n sè nµy lín h¬n tö sè cña ph©n sè kia ®ång thêi mÉu sè cña ph©n sè nµy bÐ h¬n mÉu sè cña ph©n sè kia hoÆc ng­îc l¹i) th× ta chän ph©n sè trung gian

Khi chän ph©n sè trung gian ta cã 2 c¸ch chän:

+ C¸ch 1: Chän TS cña ph©n sè thø nhÊt lµm tö sè cña ph©n sè trung gian vµ mÉu sè cña ph©n sè thø hai lµm mÉu sè cña ph©n sè trung gian.

+ C¸ch 2: Chän tö sè cña ph©n sè thø hai lµm TS cña ph©n sè trung gian vµ mÉu sè cña ph©n sè thø nhÊt lµm MS cña ph©n sè trung gian.

VD : So s¸nh  vµ                       Chän ph©n sè trung gian lµ

      Ta thÊy:  <  ;    <     Nªn   <

3. So s¸nh phÇn bï:

 NÕu hai ph©n sè  vµ  mµ b -a = d - c (hiÖu mÉu sè vµ tö sè cña hai ph©n sè b»ng nhau) th× ta so s¸nh phÇn bï.

 VÝ dô:  vµ

C¸ch 1: Ta thÊy:  = 1 - ;      = 1 -

 V×  >  nªn 1 -  <  1 -  VËy:  <

C¸ch 2:  Ta thÊy:1 -  = ;   1 -  =

  V×  >  nªn  <

4.  So s¸nh phÇn thõa:

NÕu hai ph©n sè  vµ  mµ a - b = c - d ( hiÖu gi÷a tö sè vµ mÉu sè cña hai ph©n sè b»ng nhau) th× ta so s¸nh phÇn thõa.

VÝ dô:  vµ               Ta thÊy: = 1 +    = 1 +

V×   >  nªn 1 +  > 1 +  . VËy:  >

                                                    TØ sè phÇn tr¨m

- TØ sè % gi÷a A vµ B b»ng 80% ®­îc hiÓu: B ®­îc chia thµnh 100 phÇn b»ng nhau th× A lµ 80 phÇn nh­ thÕ.

- C¸ch t×m tØ sè % gi÷a A vµ B

* C¸ch 1: T×m th­¬ng cña hai sè råi nh©n th­¬ng võa t×m ®­îc víi 100, viÕt thªm kÝ hiÖu phÇn tr¨m vµo bªn ph¶i tÝch võa t×m ®­îc.

             VÝ dô: T×m tØ sè phÇn tr¨m cña 2 vµ 4.

TØ sè phÇn tr¨m cña 2 vµ 4 lµ:

              2 : 4 = 0,5 = 50%

* C¸ch 2:

A : B x 100%.

VÝ dô: T×m tØ sè % gi÷a 2 vµ 4; gi÷a 4 vµ 2.

- TØ sè % gi÷a 2 vµ 4 lµ:

2 : 4 x 100% = 50%

- TØ sè % gi÷a 4 vµ 2 lµ:

4 : 2 x 100%

                         C¸c bµi to¸n ®iÓn h×nh

I. Bµi to¸n T×m sè trung b×nh céng

1. Muèn t×m trung b×nh céng cña nhiÒu sè ta lÊy tæng chia cho sè c¸c sè h¹ng.

2. Muèn t×m tæng c¸c sè h¹ng ta lÊy trung b×nh céng nh©n víi sè c¸c sè h¹ng.

3. Trong d·y sè c¸ch ®Òu:

 - Trung b×nh céng cña mét d·y gåm sè lÎ c¸c sè c¸ch ®Òu nhau th× b»ng sè ë chÝnh gi÷a cña d·y sè ®ã.

    VD : Cho d·y sè : 1; 3; 5; 7; 9; 11, 13

         TBC cña d·y sè gåm sè c¸c sè lÎ c¸ch ®Òu nhau b»ng sè ë chÝnh gi÷a cña d·y sè.

        VËy TBC cña d·y sè trªn b»ng 7

- Trung b×nh céng cña mét d·y sè ch½n c¸c sè c¸ch ®Òu nhau th× b»ng trung b×nh céng cña mét cÆp sè c¸ch ®Òu hai ®Çu d·y sè.

     VD : Cho d·y sè : 1; 3; 5; 7; 9; 11

         TBC cña d·y sè trªn = (1 + 11) : 2 = (3 + 9) : 2 = (5 +7) : 2 = 6

4. Mét sè b»ng trung b×nh céng cña c¸c sè cßn l¹i th× sè ®ã chÝnh b»ng trung b×nh céng cña tÊt c¶ c¸c sè ®· cho

     VD : TBC cña ba sè 3; 8 vµ 13 lµ 8.

         Ta thÊy 8 b»ng TBC cña ba sè vµ 8 còng b»ng TBC cña hai sè cßn l¹i 3 vµ 13 :

           (3 + 13 ) : 2 = 8

5. Trong c¸c sè, nÕu cã mét sè lín h¬n møc trung b×nh céng cña c¸c sè n ®¬n vÞ th× trung b×nh céng cña c¸c sè ®ã b»ng tæng cña c¸c sè cßn l¹i céng víi n ®¬n vÞ råi chia cho c¸c sè h¹ng cßn l¹i ®ã.

VÝ dô: An cã 20 viªn bi, B×nh cã sè bi b»ng  sè bi cña An. Chi cã sè bi h¬n møc trung b×nh céng cña ba b¹n lµ 6 viªn bi. Hái Chi cã bao nhiªu viªn bi?

Bµi gi¶i

          Sè bi cña B×nh lµ : 20 x  = 10 (viªn)

          NÕu Chi bï 6 viªn bi cho hai b¹n cßn l¹i råi chia ®Òu th× sè bi cña ba b¹n sÏ b»ng nhau vµ b»ng trung b×nh céng cña c¶ ba b¹n.

VËy trung b×nh céng sè bi cña ba b¹n lµ:

                             (20 + 10 + 6) : 2 = 18 (viªn)

Sè bi cña Chi lµ:         

18 + 6 = 24 (viªn)

                                                §¸p sè: 24 viªn bi

6. Trong c¸c sè, nÕu mét sè kÐm trung b×nh céng cña c¸c sè ®ã tn ®¬n vÞ th× trung b×nh céng cña c¸c sè ®ã b»ng tæng c¸c sè cßn l¹i trõ ®i n ®¬n vÞ råi chia cho sè l­îng c¸c sè h¹ng cßn l¹i.

    VÝ dô : Cã ba tæ trång c©y, tæ mét trång ®­îc 8 c©y, tæ hai trång ®­îc 10 c©y. Tæ ba trång ®­îc Ýt  h¬n sè trung b×nh céng cña c¶ ba tæ lµ 2 c©y. Hái trung b×nh mçi tæ ®· trång ®­îc bao nhiªu c©y vµ sè c©y tæ ba ®· trång ®­îc ?

                                     Gi¶i

       V× tæ ba trång Ýt h¬n sè trung b×nh céng cña c¶ ba tæ lµ 2 c©y, suy ra tæ ba ®· ®­îc bï  2 c©y tõ tæ 1 vµ tæ 2 ®Ó ®¹t sè c©y trung b×nh.

 Sè c©y trung b×nh mçi tæ trång ®­îc lµ :

              (8 + 10 - 2 ) : 2 = 8 (c©y)

  Sè c©y tæ ba ®· trång ®­îc lµ :

               8 - 2  =  6 (c©y)

                          §¸p sè : 8 c©y,   6 c©y

L­u ý: + ë d¹ng nµy cÇn ®äc kÜ xem sè h¹ng ch­a biÕt lín h¬n (hay bÐ h¬n) sè trung b×nh céng.

+ NÕu sè h¹ng ch­a biÕt lín h¬n sè trung b×nh céng lµ a ®¬n vÞ ; chøng tá sè h¹ng ®ã ph¶i bï cho c¸c sè h¹ng cßn l¹i  ®óng a ®¬n vÞ ®Ó ®­îc sè trung b×nh céng.

+ NÕu sè h¹ng ch­a biÕt bÐ h¬n sè trung b×nh céng lµ a ®¬n vÞ ; chøng tá sè h¹ng ®ã ®· ®­îc bï tõ c¸c sè h¹ng cßn l¹i ®óng a ®¬n vÞ ®Ó ®­îc sè trung b×nh céng.

C¸ch gi¶i :

    B­íc 1 : X¸c ®Þnh c¸c sè h¹ng ®· cho (a₁; a₂ ; a₃ ; …)

    B­íc 2 : TÝnh sè trung b×nh céng b»ng c¸ch :

     + TÝnh tæng c¸c sè h¹ng ®·